Ugrás a tartalomra

Pitagorasz-tétel kalkulátor

Válaszd ki, melyik oldalt keresed, add meg a másik kettőt – az eredmény azonnal megjelenik.

Ismered a két befogót, és a leghosszabb oldal kell.
Ismered a két befogót, és a leghosszabb oldal kell.

A leghíresebb képlet

Derékszögű háromszögben a két rövidebb oldal – a befogók – négyzetének összege egyenlő a leghosszabb oldal, az átfogó négyzetével.

a² + b² = c²

Innen mindkét irány következik:

átfogó:  c = √(a² + b²)
befogó:  b = √(c² − a²)

Példa

A klasszikus 3-4-5 háromszög:

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Visszafelé, ha az átfogó 5 és az egyik befogó 3:

b = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4

A kalkulátor a kerületet és a területet is kiírja. Utóbbi derékszögű háromszögnél különösen egyszerű, mert a két befogó egyben alap és magasság is:

T = (a · b) / 2 = (3 · 4) / 2 = 6

Az átfogó mindig a leghosszabb

Ez a tétel legfontosabb következménye, és a leggyakoribb hibaforrás is. Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal, és mindig hosszabb bármelyik befogónál.

Ezért ír ki hibát a kalkulátor, ha befogó módban az átfogónál nagyobb befogót adsz meg: c² − a² ilyenkor negatív, aminek nincs valós gyöke. A képlet NaN-t adna vissza, a kalkulátor viszont megmondja, mi a baj – jellemzően az, hogy a két szám fel van cserélve.

Ahol tényleg használják

Derékszög kitűzése. A 3-4-5 arány évezredek óta bevált módszer: mérj fel az egyik irányban 3, a másikban 4 egységet, és ha a két végpont távolsága pontosan 5, akkor a sarok derékszögű. Ácsok, kőművesek és kertészek ma is így ellenőriznek, mérőszalaggal.

Átlók. Egy téglalap átlója a két oldalból pont így jön ki – ezt használja a téglalap kalkulátor is. Bútorszállításnál és képernyőméretnél ugyanez a számítás.

Távolság a síkon. Két pont távolsága a koordinátáikból szintén ez: a vízszintes és a függőleges eltérés a két befogó.

Létra és lejtő. Ha a létra alja két méterre van a faltól és a teteje hat méter magasan ér a falhoz, a létra hossza √(4 + 36) = 6,32456 méter.

Pitagoraszi számhármasok

Néhány számhármas egészekkel is pontosan teljesíti a tételt:

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29

Bármelyik többszöröse is működik: a 6-8-10 ugyanúgy derékszögű, mint a 3-4-5. Ez a gyakorlatban azért hasznos, mert nagyobb léptékben pontosabban lehet vele kitűzni.

Csak derékszögre

A tétel kizárólag derékszögű háromszögre igaz. Általános háromszögnél a koszinusztétel érvényes:

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Ha γ derékszög, a koszinusza nulla, az utolsó tag eltűnik, és pontosan a Pitagorasz-tételt kapjuk vissza. A tétel tehát a koszinusztétel derékszögű különesete.

Kapcsolódó

Gyakori kérdések

Mi a Pitagorasz-tétel?

Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a² + b² = c². Csak derékszögű háromszögre igaz.

Hogyan számolom ki az átfogót?

Emeld négyzetre a két befogót, add össze őket, és vonj gyököt: c = gyök(a² + b²). A 3 és 4 befogójú háromszög átfogója pontosan 5.

Hogyan számolom ki a befogót?

Az átfogó négyzetéből vond ki az ismert befogó négyzetét, és vonj gyököt: b = gyök(c² − a²). Az átfogónak nagyobbnak kell lennie a befogónál.

Miért ír ki hibát, ha a befogó nagyobb az átfogónál?

Mert az átfogó definíció szerint a leghosszabb oldal – a derékszöggel szemben van. Ha a megadott befogó nagyobb, akkor vagy elcserélted a két számot, vagy a háromszög nem derékszögű.

Mi az a pitagoraszi számhármas?

Három egész szám, amire pontosan teljesül a tétel – például 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Építkezésnél a 3-4-5 arány évezredek óta derékszög kitűzésére szolgál.

Nem derékszögű háromszögnél mit használjak?

A koszinusztételt, ami a Pitagorasz-tétel általánosítása: c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Derékszögnél a koszinusz nulla, és visszakapjuk az eredeti képletet.

Kapcsolódó kalkulátorok

Utoljára frissítve: 2026. augusztus 10.