Gömb térfogata és felszíne

Egyetlen adatból minden

A gömb – akárcsak a kör a síkban – egyetlen adattal teljesen meghatározott. Ha a sugarat ismered, a térfogat és a felszín is következik belőle.

V = (4/3) · r³ · π
A = 4 · r² · π

A felszín képletében érdemes megállni: pontosan négyszerese az azonos sugarú kör területének. Ez nem véletlen egybeesés, hanem egy tétel, amit már Arkhimédész is bizonyított.

Példa

Egy 5 egység sugarú gömb:

V = (4/3) · 5³ · π = (4/3) · 125 · 3,14159… = 523,599 egység³
A = 4 · 5² · π = 4 · 25 · 3,14159… = 314,159 egység²

Ha az átmérő van meg

Labdánál, golyónál, gyümölcsnél az átmérőt sokkal könnyebb megmérni, mint a sugarat. Felezd el:

r = d / 2

Egy 22 centiméter átmérőjű focilabda sugara 11 centiméter, a térfogata tehát (4/3) · 11³ · π = 5575,28 köbcentiméter, vagyis nagyjából 5,6 liter.

A köbös növekedés

A térfogat a sugár harmadik hatványával nő, a felszín viszont csak a másodikkal. Kétszer akkora sugár tehát nyolcszoros térfogatot és négyszeres felszínt jelent.

Ennek a látszólag száraz ténynek meglepően sok következménye van:

• A nagy testek lassabban hűlnek. A hő a felszínen keresztül távozik, de a térfogat tárolja – minél nagyobb a test, annál kisebb a felszín/térfogat arány. Ezért marad melegebb sokáig egy nagy fazék leves.
• A gömb a leghatékonyabb alak. Adott térfogathoz a gömbnek a legkisebb a felszíne. A szappanbuborék és a súlytalanságban lebegő vízcsepp ezért gömb alakú: a felületi feszültség a legkisebb felületet keresi.

Félgömb

A térfogat egyszerűen a fele:

V = (2/3) · r³ · π

A felszínnél viszont figyelni kell. A gömbsüveg felülete a teljes felszín fele (2r²π), de ha zárt félgömbről van szó, a vágásnál keletkező körlapot is hozzá kell adni (r²π) – összesen 3r²π. Ugyanaz a csapda, mint a félkör kerületénél.

Kapcsolódó

• Térfogat kalkulátor – henger, kocka, téglatest
• Henger térfogata
• Kör területe – a síkbeli megfelelője